Ejercicios 1,2,3,4 y 5 de la act. 1.3

Queremos saber cual es la hipotenusa de un triangulo rectangulo, sabemos que la formula del teorema de pitagoras es:

Solucion:
a =cateto =11.4 cm b = cateto menor = 7.4 cm c = hipotenusa = ?
Utilizamos el teorema de pitagoras: 
c* = a* + b* c* = (11.4)* + (7.4)* c* = 122.96 + 54.76 c  = 177.72 c = 13.33

Espiral a base de la serie de Fibonacci

Las figuras estan hechas al tanteo ya que no tienen medidas especificas, para hacerlo.

 Hay varias diferencias entre la espiral aurea y la espiral que se construye con cuadrados cuyas medidas de los lados se toman de  la serie de fibonacci.

-En el de fibonacci esta formado por cuadros y medidas de la serie del mismo.

 La espiral aurea la formamos sin medidas especificas con la ayuda de una regla no graduada y un compas.

Su semejanza entre estas dos es que al dividir la base por la altura, nos dara el mismo resultado.

Baricentro

Es un punto tal, que cualquier recta que pasa por el, divide a dicho segmento en dos partes de igual momento respecto a dicha recta

Incentro

Es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los angulos internos del angulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.

Ortocentro

Es el punto donde se cortan loas tres alturas de un triangulo,

,Para determinar el area sombreada de este cuadro de 1600m2, hicimos lo siguiente:

1. Con la division del B-D tenemos como resultado 800m2

2. Determinando el circulo (mayor) imaginario de 40 de radio*3.1416 al cuadrado te dara un resultado que es 1600m2 de area ese resultado se dividira entre fragmentos que dara un resultado a 628m2.

3. Creando otro circulo imaginario (menor) podemos crear otro cuadrado imaginario de 20 de radio que multiplicado por 3.1416 al cudrado sera a 1256m2 de area.

4. El resultado del area del cuadrado (1256m2) lo dividiras entre dos fragmentos que es la mitad del circulo que vemos en la figura que es igual a 628m2.

5. Entonces sabemos que el triangulo que esta dentro del circulo imaginario (menor) es igual a 400m2, este resultado lo obtendremos diviendo el cuadrado de 1600m2 entre 4 (los 4 triangulos tienen dentro de este tiene las mismas medidas).

6. Por pre-final restaremos los 400m2 a los 628m2 y te dara resultado de 228m2 y ese resultado es el area exterior restante del semicirculo, entonces sabemos que tenemos dos areas sin definir y tenemos los 228m2 sobrantes por lo cual dividiremos entre 2 y el resultado (114m2) sera el area de cada fragmeto que esta dentro del semicirculo por los dos laterales del triangulo.

7. Por ultimo el resultado que nos salio en la operacion anterior 114m2 se los restaremos a los 628m2 que tenemos en el area sombrada de la figura y tenemos el resultado del area que es igual a 514m2.

Solucion:

Area: 3.1416 (2.1213)*

= 14.13922885

AOG = l * l

AOG = (4.2626) (4.2626)

AOG = 18.08

 Teorema de Pitagoras: 

r* + r* = 3*

2r* = 9

r* = 9/2

r = Raiz de 4.5

r = 2.121320344

Determinar area A y B:

1. El radio de nuestros circulos es igual a 20cm entonces obtendremos el area que es igual a 3.1416*20 al cuadrado que es igual a 1256 cm2 por lo cual la medida del circulo semejante es el mismo.

2. El radio de cada circulo para de extremo a extremo del cuadrado entonces sabemos que cada lado es igual a 40cm.

3. Determinamos el area del cadrado multiplicando 40cm*40cm que es igual a 1600cm2.

4. Entonces determinaremos el area de los semicirculos dentro del cuadrado, ese resultado lo obtendremos diviendo los 1256cm2 entre 2 que es igual a 628cm2 cada semicirculo que esta dentro del cuadrado.

5. Finalmente obtendremos el area A y B resolviendo la siguiente operacion con los resultados obtenidos:

sabiendo que el area del cuadrado es igual a 1600cm2 le restaremos los 628cm2 de cada lado (la suma de los dos semicirculos que es 628cm2*2) entonces restamos 1256cm2 a 1600cm2 que es igual a 344cm2 y porteriormente dividimos entre area A y B (entre 2) y tu resultado de cada area es igual a 172cm2 

Triangulo

Calcular el area del triangulo es facil ya que tenemos uno cuyos lados miden:8.0,6.5,5,4 para saber que tipo de triángulo es necesitamos la medida de su altura, se dice que si la suma de las dos medidas más chicas elevadas al cuadrado dan el mismo resultado que la medida más grande elevada al cuadrado, debe de ser un triangulo rectángulo.

ENSAYO 2400 PALABRAS

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. A la relación Φ=1,6180339887... se llama "proporción áurea". Los rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos de oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y mística en este asunto matemático. Según parece, a la mayoría de las personas se les hace más agradable de vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados. Esa es una de las creencias. Para palabras un poco más claras según una página de noticias arquitectura: La proporción áurea o sección áurea es asociada con bastante frecuencia con la armonía estética en la arquitectura y el arte en general, el concepto data de mucho tiempo atrás, los griegos ya la conocían y utilizaban, matemáticamente se define como la proporción de a dividida por b donde (a+b) es para a lo que a es para b, haciendo los cálculos obtenemos que la proporción áurea es ( 1 + √ 5 ) / 2 o 1.618 aproximadamente, también se le conoce hoy en día como el número Phi. Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectangulares áureos, pero no lo hacían). Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana. Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números).La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. La gente cree que esta propiedad tiene la capacidad de ajustarse al medio ambiente o a cualquier cosa. Ciertamente, la afirmación frecuentemente repetida de que el Partenón de Atenas está basado en la proporción áurea no es compatible con las mediciones reales. De hecho, toda la historia de los griegos y la razón de oro parece algo sin fundamento. Lo único que sabemos con certeza es que Euclídes en su famoso libro de texto Elementos, muestra cómo calcular su valor. Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se explican por esta relación.

Hay una espiral áurea en la cola de un camaleón? Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no explica lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen. La espiral de oro es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes. No es difícil encontrar que una de estas curvas se ajusta a un patrón particular en la naturaleza, incluso si ese patrón está sólo en el ojo del espectador. Sin embargo, el pequeño y sucio secreto de todo esto es que cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra espiral. El hecho de que una curva encaja con datos físicos no da ninguna pista acerca de los procesos físicos subyacentes que producen dichas curvas en la naturaleza. Tenemos que indagar más para encontrar esos procesos. Muchos de los libros sobre los números de Fibonacci vienen en sus portadas con imágenes de espirales que podemos hallar en la naturaleza. Esto ayuda a vender los libros, porque a la gente le gusta las imágenes bonitas. La naturaleza tiene muchas formas en espiral. Ninguna de ellas son espirales de oro y muchas ni siquiera se acercan. Tampoco se "explican" por la matemática de Fibonacci.

Se dice que muchos artista han usado estas proporciones del rectángulo, por decir, hace muchos años se usó para hacer el cuadro y pintar a nada más y nada menos que la Mona Lisa, sin antes mencionar a las múltiples empresas que hoy en día usan ésta proporción, como ejemplo en sus pancartas(anuncios), caja, revistas, etc. Incluso se dice que esta proporción se usa también para fabricar objetos y accesorios como mesas, refrigeradores, etc. y otras cosas con el fin de que según se vea más atractivo para el ojo humano. Muchas de estas cosas suelen ser coincidencias, pero no descarto la idea de que la naturaleza tiene esas proporciones, en forma de broma sería como sus tolerancias y ajustes. La proporción del rectángulo aúreo se sigue utilizando en la arquitectura moderna, aún sigue después de tanto año, será que si es muy atractivo para el ojo humano. Para palabras un poco más claras según una página de noticias arquitectura: La proporción áurea o sección áurea es asociada con bastante frecuencia con la armonía estética en la arquitectura y el arte en general, el concepto data de mucho tiempo atrás, los griegos ya la conocían y utilizaban, matemáticamente se define como la proporción de a dividida por b donde ( a+b ) es para a lo que a es para b, haciendo los cálculos obtenemos que la proporción aurea es ( 1 + √ 5 ) / 2 o 1.618 aproximadamente, también se le conoce hoy en día como el número Phi. La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales – sección del rectángulo áureo y gradación - en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente atractivo y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total. Diego de Velazquez utilizó en una de sus obras más conocidas la sección áurea para representar a la Meninas. También Alberto Durero, aprovechó la armonía y belleza que desprende el número áureo en la composición de muchas otras obras, para representar a Adán y Eva. La curva que se forma en el rectángulo áureo, conocida como la espiral de Durero, fue descubierta por el pintor renacentista Alberto Durero. Muchos artístas de la actualidad aún siguen escondiendo la curiosa proporción divina en muchos de sus cuadros, fotografía... Como en el caso de Cartier-Bresson, utiliza la espiral de Durero para dar un efecto armonioso y enrevesado a su fotografía titulada "Blanco y Negro" Los griegos ya lo conocían, está presente en muchas de sus manifestaciones artísticas, sobre todo en sus templos y sus esculturas. La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.El número de oro aparece, no una vez sino hasta tres veces en relaciones numéricas entre distintos elementos de la pirámide. Así la razón entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base es 1'618..., es decir, el número de oro. Pero no acaban aquí las sorpresas, el cociente entre el área total y el área lateral de la pirámide es también el número de oro. Y por si fuera poco, el cociente entre el área lateral y el área de la base sigue siendo el número áureo. Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro.Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo. A pesar de tener forma convexa, mantiene la relación áurea por sus diagonales, que siguen siendo las de un rectángulo áureo.

También nos encontramos con las propiedades divinas del número de oro en la Torre Eiffel en París. Aunque también hay muchos argumentos que están en contra de la credibilidad de los matemáticos. La relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci es que éste matemático indicó a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear, como también la pareja inicial. Buscando ejemplos podemos descubrirla en imágenes de grandes fotógrafos en los que la composición es un aspecto primordial. Igual que en pintura, aparece unas veces dividiendo el espacio, y otras situando elementos principales. El esquema más simple de división áurea lo dan cuatro líneas divisorias: dos verticales y dos horizontales, cada una divide el ancho o el alto empezando por un extremo o por el otro. Trazandolas todas, cada magnitud se divide en tres zonas. Una zona lateral es sección áurea del resto, y la zona central es sección áurea de cualquiera de las laterales. Otra división áurea que aparece con facilidad es la que llamamos Raíz de cinco. La relación es la inversa: cada zona lateral es sección áurea de la zona central. El ancho o el alto totales valen Raíz de cinco en relación a esta zona central. Se piensa de una supuesta relación entre la divina proporción y la divinidad, porque no son pocos los que aseguran que la biblia está salpicada de referencias de este concepto. Por un lado, es una forma que parece gustar a Dios, puesto que tanto en las instrucciones para el Arca de la Alianza que dio a Moisés, como las que dio a Noé para la otra arca, pide unas proporciones 5x3 (casualmente, dos números de la sucesión de Fibonacci) que dan como resultado 1,666, suficientemente cercano a phi como para engañar al ojo. Puestos a encontrar, hay quien encuentra relación entre 666, el número del anticristo, y el número áureo. Puede que el número áureo tenga un origen divino, o puede que no. Pero desde luego su pariente aritmética, la sucesión de Fibonacci, surgió de un problema mucho más mundano, relacionado con la reproducción de los conejos, que planteó Leonardo Pisano, Fibonacci, en su Libro del ábaco en 1202. La relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci es que éste matemático indicó a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear, como también la pareja inicial. Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una gran duda aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos. A día de hoy, nadie sabe si esto es verdadero o falso. Uno de los motivos por los que esta cifra del número áureo, es que lleva siglos fascinando a los que la estudian es que se encuentra de forma natural en los lugares más insospechados. Por ejemplo, la proporción entre abejas hembra y macho en una colmena suele ser similar a la proporción áurea. Demasiadas personas ven a esta proporción como algo especial que sin ser esperado se ve en la mayoría de las cosas, tanto que inclusive es grato el número de personas que aún siguen usando esta proporción. ¿Es casualidad o en realidad éste número si es el número creado por la naturaleza? Esta proporción para mí tiene algo muy especial, es único, es aceptado por la sociedad; es impresionante y correcto. Se usa hasta en ramas de la Odontología, se dice que esa proporción es proporcional también en el cuerpo humano y tiene que ver con la belleza.

Los arquitectos la utilizaban para crear edificios de excelente simetría.Podemos ver como se expresa Fi en las pirámides de Egipto, el Partenón de Atenas y las catedrales góticas europeas; podemos percibir cómo los artistas y artesanos de todas las épocas la utilizan, y podemos verla como descripción perfecta de los principios del crecimiento y el dinamismo en la naturaleza.

Erodeto, famoso historiador griego del siglo quinto antes de cristo cuenta que los sacerdotes egipcios le había mostrado el hecho de que las dimesiones de la pirámide eran tales que el cuadrado de la altura total era exactamente igual al área de una de las caras, este dato atribuible a un exceso de meticulosidad del arquitecto egipcio no es en sí una casualidad, pero analicemos las características geométricas que se deducen, y podemos descubrir con asombro que los egipcios hace tres mil años ya conocían y aplicaban el número áureo.